当 AI 成为“神谕”，数学会怎样？数学家 Steven Strogatz 谈新书《Big Math》

一场浮士德式的交易？

数学家 Steven Strogatz 谈论他的新书《Big Math: The Hidden Codes That Run Our World》。

我们的现代世界靠数学运转，从社交媒体算法、包裹投递、天气预报，到医学影像和机器学习。计算机的兴起助推了数学的主导地位，使我们能够处理那些原本超出人类有限大脑能力范围的越来越大的数字。但随着大语言模型、AI 聊天机器人，以及即将到来的量子计算的崛起，所谓的“大数学”开始完全超越它的创造者。这意味着什么，以及我们该如何适应，是应用数学家 Steven Strogatz 和 Alex Townsend 合著的新书《Big Math: The Hidden Codes That Run Our World》的焦点。

Strogatz 在其领域内最为人熟知的，也许是他与 Duncan Watts 于 1998 年合著的一篇关于小世界网络集体动力学的开创性论文。他还研究过应用于物理学的混沌理论、超螺旋 DNA 的几何结构，以及生物集体振荡器，例如同步闪烁的萤火虫群和齐声鸣叫的蟋蟀。2005 年，Strogatz 将他对同步性的研究扩展到曾导致伦敦千禧桥摇晃的人群。

作为一位屡获殊荣的科学传播者，Strogatz 分别在 2010 年、2012 年和 2025 年为《纽约时报》撰写了三个数学专栏系列，并在 2020 至 2021 年间为 Quanta 杂志主持了一档播客。他已著有四本科普书：《Sync》（2003）、《The Calculus of Friendship》（2009）、《The Joy of X》（2012），以及《纽约时报》畅销书《Infinite Powers》（2019）。

这一次，Strogatz 找到了一位十分契合的合著者 Townsend——一位最近入职康奈尔大学的年轻同事，研究数值分析和深度学习。作为资深教师，Strogatz 被指派指导 Townsend，两人开始经常在 Risley Hall 一起午餐。Strogatz 对 Townsend 那门关于 20 世纪 20 大算法的课程所具有的科普书潜力很感兴趣，于是提议合著。这个构想慢慢演变成一本关于大矩阵计算的书，最终成为《Big Math》。

“关于纯数学的书太多了，就好像计算机不存在一样，”Strogatz 告诉 Ars。“Alex 和我都是非常偏应用方向的数学家。我们认为应该有一本关于计算机与数学的书，尤其是那类拥有数十亿变量或参数、根本无法在头脑中应对的超大规模问题。我们许多已有数百年历史的数学方法都能完美地扩展到这个计算机时代。正如算盘之于算术，方程（“矩形阵列”）算板之于线性方程组。那是一种可以用手和竹签来操作的矩阵。所以，把数学从我们头脑中外化到我们的工具里，是一个有两千年历史的思想。”

“我们每个人内心的数学家总想知道更多，”Strogatz 和 Townsend 写道。“而作为人类，我们必须坚持让知识服务于比它自身更大的东西。这也许是我们这个世纪的使命：让我们的力量增长，同时不失去我们的灵魂。大数学还在不断变大。我们也必须如此。”

Ars 与 Strogatz 进行了交谈，以了解更多。

Ars Technica：让我们先定义一下“大数学”，因为这是一个涵盖面极广的术语。

Steven Strogatz：从实际操作上讲，“大数学”的“大”是相对于人类的认知能力而言的。所以它可能出奇地小，却又是大的。我们还想把它扩展到人们通常认为是计算工程的东西——比如建造哈利法塔，那属于土木工程或建筑设计。它也存在于医学成像中，存在于让我们登月的努力中。登月舱由一台微型计算机控制，它在引导登月舱下降到月球表面时，每次只需考虑大约 20 或 30 个变量。但这不是一个人能在头脑中完成的事情。

大数学并不是通常意义上“数字很大”的那种大。这本书里有一条关于线性与稀疏性重要性的暗线。当问题是线性的时候，它们可以扩展到巨大的规模，并且仍然易于处理。如果是非线性的，你就没有希望用纯数学来处理它们了。你可以用计算机来做，但对于那些想要严格定理的人来说，当我们处理任何非线性且规模庞大的问题时，我们正处于未知领域。

小数学也可能非常难。历史上我们有只有一两个变量的小数学问题，比如算术和你在高中学的代数。直到今天，很多纯数学仍然相对“小”。它不涉及同时处理海量变量，因为那完全难以处理。密码学可以很小，但它的非线性和其他代数上的困难使它极其复杂。所以“大”是困难的一种方式，但还有很多其他的方式。

如今，最大的大语言模型中数万亿参数已是常态。但从这个角度说，无穷大并不算大。你会以为无穷大应该是大数学中最大的，其实不然，因为微积分能完美地装进人的头脑。事实证明，无穷大是很容易处理的，而十亿却不是。

Ars Technica：你举的关于大数学的现实案例中，有一个在当下尤其应景：与选区划分不公问题相关的数学。

Steven Strogatz：这是一个有趣的问题：什么才算公平的选区地图，什么才算合理的重新划分选区？法律体系给了我们一些标准，但它们很模糊。比如，选区不应该看起来太像蛇，不应该长得像蝾螈。法律上的术语是“紧凑”——选区应该足够紧凑。但 这在数学上意味着什么？选区还应该是连片的；你不能把几个分开的岛屿算作同一个选区。它还应该尊重自然边界，比如河流或其他地形特征。此外，每个选区的人口应该大致相同。

那么，如何制作一张满足所有这些标准的地图呢？事实证明，制作的方法有很多。利用过去的投票信息，你可以暗中操纵。这就是选区划分不公的全部内容：试图为了执政党或当权党派而重新划分选区。关于某些地图是否侵犯人民权利，一直存在激烈的争论。原则应该是一人一票。如果你做的事情稀释了某个人的权力，可以说让他们的选票被浪费了，那么传统上这被认为是不公平的，甚至可能是违法的。

最高法院审理过各种各样的案件，但法院对使用数学非常抵触。我引用了首席大法官约翰·罗伯茨关于“效率差距”作为衡量不公正选区划分的一项指标的说法。他用希腊字母来称呼它，并且说了类似这样的话：“街上的普通人只会觉得这是天书，法律不应关注这种标准。”

尽管如此，Moon Duchin 和她的同事们展示了一种非常切实可行的方法，可以生成一大批满足所有法律标准的合理地图，这样你就有了基线，可以做对照实验。数学的作用在于给你一种有原则的方法，随机生成尊重法律所要求标准的地图，除此之外这些地图只是合理地图的随机样本。一张地图有多大频率会产生不公正划分者想要的结果？如果你能证明它是极端的离群值，那就说明了一些问题。这能证明恶意意图吗？不能。但它确实证明这种情况并不典型。

在阿拉巴马州的一起投票权案中，罗伯茨实际上投了原告一票，原告主张阿拉巴马州的一张地图对黑人选民造成了真实伤害。该州声称他们不可能得到一张让两个选区都拥有黑人选民多数的合理地图。Moon Duchin 证明这种说法是错误的。你可以生成成千上万张能做到这一点的地图。所以该州所说的根本不是事实。

在这本书完成文字编辑、准备付印之后，最高法院作出了一项裁决，认定事实上你可以随意进行党派不公正的选区划分，这并不违反《投票权法案》。我们写了一个更乐观的故事。

Ars Technica：从哲学角度来看，数学随时间发生了怎样的变化？

Steven Strogatz：我认为一个简明扼要的概括就是计算机的角色。在很长一段时间里，计算机是数学家、工程师和科学家的仆人。它在哲学上并不比显微镜或望远镜更具威胁性。它可以延伸我们的感官。它是凿子，是铁砧，是工具。它帮助我们更快地进行计算；那些对人来说规模太大而难以完成的事情，可以在机器上完成。我们有过机械计算器。随着晶体管的发明，它们在 20 世纪 50 年代变成了电子计算机，速度大幅提升，才有了今天的超级计算机。我们给它们编程，它们完全按照我们所说的去做。所以它们是仆人。

哲学上的第一个重大变化出现在 20 世纪 50 年代，那时计算机开始被用作不只是仆人；它们变成了侦察员。你可以把计算机派往数学版图中未知的、未被探索的领域。最清晰的例子是 Enrico Fermi 及其同事（Pasta、Ulam 和 Tsingou）的工作，我们在关于模拟的那一章中写过。在传统上被称为 Fermi-Pasta-Ulam 数值实验的工作中，进行计算的是 Mary Tsingou。

它与早期计算机用途的区别在于，Fermi 及其同事们完全不知道答案会是什么。用计算机计算原子弹爆炸释放的能量或炮弹的弹道是一回事。我们不知道确切的数值，但我们知道正在发生什么。而在这个实验中，他们试图模拟一个简化的模型，用行话说，就是原子如何在化学键抖动时“形式化”。你想看到向熵的衰减。如果系统任其自然发展，它们如何变得越来越无序？

Fermi 认为化学键的非线性特性——意思是如果把化学键拉伸到两倍长，它回弹的力并不会恰好是两倍，所以并不是严格成比例的——也许可以解释所谓的热力学第二定律，即向熵的衰减。纸笔计算无法胜任这项工作，因为你无法把这些非线性相互作用计算到足够远，以看到向熵的衰减。

于是他们在计算机上运行了它，一件令人震惊的事情发生了：它没有衰减。它表现出一种奇怪的回声。你把所有能量都注入这个系统的一个振动模式中，然后它开始退化。但过了一段时间后，98% 的能量回到了原来的模式。这就是他们所称的“再现现象”的回声。它引领我们开辟了一个全新的数学分支，我们称之为孤子理论。这是一个早期迹象：一旦你走进非线性丛林，人类的直觉就会失灵。我们自己无法走进去，但我们派出了侦察兵——这个计算机探测器——进入思维的荒野，而它是唯一有能力进行计算并向我们报告发现的东西。

Ars Technica：AI 在数学领域的迅速崛起已经令该领域许多人感到不安，尤其是考虑到 OpenAI 上个月发布了 722 篇 AI 生成的数学论文，被称为“数学末日”。从技术上讲，AI 也是一种新工具，但它似乎有着根本的不同。 

Steven Strogatz：所以从仆人到侦察兵是一种新事物，而计算成了我们的伙伴。起初，一切都令人兴奋。就像拥有了一辆崭新的法拉利什么的。你可以一路疾驰，然后有所发现。Fermi 和 Ulam 当时就是这么说的。那确实令人惊叹。他们不知道会有什么结果。计算机现在通过向我们展示事物来教导我们，但我们仍然跟得上。我们可以发展出像孤子理论这样的新理论，所以我们可以对它展示给我们的东西作出合理解释。

现在不同的是，它正在从仆人到侦察兵再到神谕，它向我们展示我们不理解的东西，而它自己又不够善于表达，无法解释清楚。它看起来是对的。一个明显的例子是谷歌翻译之类的产品，它在把一种语言翻译成另一种语言方面表现出色，但它并没有发现新的语言学原理，或者即使发现了，它也无法告诉我们那些原理是什么。

同样，构建 AlphaFold 的那几个人几年前获得了诺贝尔化学奖的蛋白质折叠技术。现在我们能解出比以前多一千倍的蛋白质结构，但我们并不是通过学习新的物理或化学知识做到的。它只是识别了模式，但它无法告诉我们它是怎么做到的。所以这就是我们目前所处的境地，而且情况还会变得更糟。

Ars Technica：在你的书中，你追问洞见是否仍然重要，并举 Stephen Wolfram 为例——他可能会对这个问题给出否定的回答。

Steven Strogatz：Wolfram 的立场很微妙。他推崇计算不可约性。我很喜欢这两个词：perspicuous（清晰可透）和 perspicacious（洞察敏锐）。系统可以是清晰可透的，你能看进它们内部。几千年来，科学一直关注那些清晰可透的系统，也就是说你能洞悉它们，因为你足够敏锐。但 Wolfram 会问：我们是否一直是那个著名的醉汉，只因为别处太黑，就一直在路灯底下找钥匙？除了路灯下，你根本没希望找到钥匙。

那么，是不是我们人为地把自己限制在了那些足够透明的系统上，以至于我们能发展出我们的洞见所能照亮的那门科学？我想 Wolfram 会宣称，自然界的大部分在计算上都是不可约的，也就是说，不存在什么简单而有洞见的理论能解释正在发生的事情。你所能做的最好办法，就是运行一次模拟，然后观察会发生什么，就像任由自然展开、观察现实中发生的事情一样。

用如今人们的行话说，你不应指望得到一个压缩的描述，一个能解释你所见一切的简化模型。我们确实见过这样的模型。Newton 能从几条简单的原理出发解释行星的运动，而且行得通，但我想在 Wolfram 看来，那是一种人为的简单。大部分科学最终不会是那个样子。W我们不知道 Wolfram 在这一点上是否真的正确。但我认为可以证明 Wolfram 正确的一点是，许多计算机模拟在计算上是不可约的——不过自然界未必如此。

Ars Technica：如果你看不进这些模型，而它们也无法解释自己在做什么，你怎么知道它们是对的？ 

Steven Strogatz：让我们先约定：我们不理解它们，而且它们目前也无法向我们解释自己。不过，让我们在这句话旁边加个星号，因为它们有可能成为非常出色的老师。也许我们现在不理解 Google 翻译或 AlphaFold，但十年后就会理解了。我确实相信，会存在一些因人类自身局限而真正不透明的系统——我们就是不够快、不够聪明、内存不够多。AI 会向我们展示一些即便有它们的帮助我们也无法理解的东西。到那时该怎么办？

那时我认为，数学会变得更像科学、医学或工程。在美国食品药品监督管理局（FDA），要让一种新药获批，必须通过大量对照研究和随机试验证明其安全性。医学界的人已经为这种不透明性发展出了一整套方法论。但医生并不要求了解作用机制。你不必知道阿司匹林是如何起效的。你也不必知道电休克疗法如何治疗难治性抑郁症。即便不理解，我们依然可以依靠这些方法与这些技术或药物共存。你不必拥有第一性原理的理解。如果 AI 是一个神谕，你仍然可以通过查看它正确的频率来检验它。

Ars Technica：在这个过程中我们失去了什么？

Steven Strogatz：这确实是一种损失。我不想轻视这种严重性——用一个花哨的哲学词来说——认识论上的损失。长期以来，纯数学引以为豪的是，我们是唯一拥有绝对证明的学科。我们拥有确定性。我们尽可能接近人类所能达到的确定性。我们可以写出一个证明。欧几里得的证明至今仍然正确，尽管他在公元前 300 年写下了它们。公元前 300 年的科学或医学中没有什么是至今仍被接受的，但所有的数学依然成立。

所以数学有某种永恒且非常特别的东西。尽管我们只是灵长类动物，却不知怎的在触及某种非常深刻的东西。因此，如果说“科学和工程是数学的榜样”，对最纯粹的纯数学家来说将是巨大的牺牲。他们不想放弃我们一直引以为豪的确定性。

Ars Technica：许多数学家心中有一种悲伤，不仅是因为认识论的问题，还因为这影响了我们最初为什么要研究数学。你写到过那种“啊哈！”时刻——当你苦思一个问题时，突然看到了其中的规律。我们正在失去它吗？

Steven Strogatz：数学家们，我们这些感到悲伤的人，有很多事情值得悲伤。我已经经历了悲伤五阶段的全过程。我有点在跟你开玩笑。但年轻的学生们并不觉得这好笑。我是一个职业生涯接近尾声的老人，所以我可以对此看得比较豁达。但想象一下，你 25 岁，热爱这门学科，梦想成为数学家，而现在人们说这个学科已经终结了。甚至还有人在幸灾乐祸。科技界的一些人对数学的遭遇非常冷酷。

我们谈到了认识论的层面，但还有富有成效的奋斗文化。像陶哲轩这样的纯数学家一直强调理解。这就是我们对洞见的理解：当你努力去理解某个东西时，即使没有解决它，你在思考策略或问题的其他简化版本时往往会表现出极强的创造力。你在这段旅程中会学到很多东西。你还能拥有与其他热爱你所爱之物的人相伴的人类喜悦。这并不限于数学。热爱艺术或编织的人——我在创意写作领域的同事们为他们学生现在的处境而悲痛欲绝：学生交上来的都是 AI [生成的]作品。他们想要有灵魂、有人的个性的写作。

Ars Technica：这恰恰是 AI 所做的反面。我想我担心它会对数学造成同样的影响。数学有其美，有其审美的成分。如果你只专注于得到答案而忽视旅程，这些就是定性的损失。数学家也有各自独特的风格。

Steven Strogatz：完全正确。有些人的风格在他们提出的问题、处理问题的方式、表达自己的方法中清晰可见。过去几个月里，我在几次采访中对着镜头哭了，因为可能有很多东西正在失去。但我想强调的是，我们并不真正知道结果。例如，如果 AI 变得非常擅长教导我们呢？我发现，当我与它互动时，它可以是一个非常有效的讲解者。

那我们为什么非得感到悲伤呢？也许在这台机器的帮助下，我们能比以往任何时候都更懂数学。我们可能无法做出最伟大的发现，因为那大概率会由机器来完成，但我们仍然可以做出一些小发现。我从未做出过伟大的发现。我达不到菲尔兹奖得主的水平，但我依然能享受数学，远不如我的人也同样可以。有些娱乐数学家从发现中获得乐趣，无论他们自己琢磨出什么。就像人解开一道谜题那样，拼图或数独本身并不重要，重要的是思考带来的乐趣。

也有人热爱其中的锻炼过程。有人喜欢竞争。我们不该假装视而不见。有人会因为成为做出重大发现的第一人而激动不已。这对某些人来说是动力，而他们日后会很不好受。

Ars Technica：有理由保持希望吗？

Steven Strogatz：到目前为止，AI 还不擅长提问。我认为可以训练它们提出好问题。研究生刚入门时往往也不擅长提问，因为大学里教你的是给出答案，而不是提出问题。培养新博士或博士后最困难的事情，就是帮他们学会如何提问。我想我们对 AI 也可以这样做。

确实有一种失落感，但我不认为我们应该低估那种兴奋感。在能源技术、气候、医学、理论物理和纯数学领域，可能涌现出许多切实而重要的益处。我是说，我们正在通过这台机器做出惊人的发现。所以对很多人来说，这是一个充满喜悦的时代。同时它也令人十分困惑。这是唯一诚实的评价。

我们以《浮士德》结束这本书。通常人们听到“浮士德式交易”，会理解为“你把灵魂卖给了魔鬼，现在要付出代价了”。而歌德的版本更为暧昧：如果我们不断奋斗、去建造超越自身的东西，或许我们仍能得到救赎。但 这依然是一场我们选择参与的危险游戏。

Jennifer 是 Ars Technica 的资深撰稿人，特别关注科学与文化的交汇处，报道内容涵盖物理及相关跨学科话题，以及她最爱的电影和电视剧。Jennifer 与她的丈夫、物理学家 Sean M. Carroll 以及两只猫 Ariel 和 Caliban 一起住在巴尔的摩。

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